Ponente
Descripción
Los modelos epidemiológicos clásicos continuos describen en su comportamiento cambios graduales en sus variables de estado (curvas suaves), los cuales no representan en su totalidad lo que ocurre en la realidad, más aún cuando los mecanismos de control se aplican de forma abrupta debido a que los infectados $I(t)$ han sobrepasado un umbral crítico $I_c$. En este trabajo se presenta el análisis cualitativo de los Sistemas de Filippov aplicados a los modelos epidemiológicos, los cuales ayudan a modelar el hecho de que en una epidemia se aplique un control cuando la prevalencia $I(t)$ sobrepase un umbral $I_c$ ($I(t)>I_c$). El análisis de este tipo de modelos se centra en los puntos deslizantes especiales como son: puntos singulares, puntos tangentes, equilibrios de frontera y los pseudo-equilibrios, los cuales no están presentes en los modelos clásicos continuos.
Como un ejemplo de aplicación en este tipo de modelos, se propone un modelo tipo SIR donde se aplica un control $u\neq 0$, cuando la población infectada $I$ sobrepasa un umbral crítico $\Gamma$ ($I(t)>\Gamma$), de la forma:
$$\dot{\mathbf{X}} =\begin{cases}
\mathbf{ f^{(1)}}(\textbf{X}) \quad \text{if} \quad \textbf{X} \in \Omega_1\\
\mathbf{ f^{(2)}}(\textbf{X}) \quad \text{if} \quad \textbf{X} \in \Omega_2, \\
\end{cases}$$
donde $\mathbf{X}=(S,I,R)^T$ y,
$$\Omega_1=\left\{(S,I,R):I<\Gamma\right\},$$
$$\Omega_2=\left\{(S,I,R):I>\Gamma\right\}.$$
Para este caso, el modelo se divide en dos campos vectoriales: el campo vectorial $\mathbf{ f^{(1)}}(\textbf{X})$, para el cual no se aplica el control ($u=0$) y el campo vectorial $\mathbf{ f^{(2)}}(\textbf{X})$, para el cual se aplica un control no nulo ($u\neq 0$). Se realiza un análisis cualitativo sobre sus puntos deslizantes especiales, los cuales están ubicados sobre la zona de conmutación del sistema $\Sigma$ (valores de $\mathbf{X}$ donde $I=\Gamma$). Al variar el Número Reproductivo Básico, para $\mathcal{R}_0>1$, se encuentra una bifurcación local no suave, la cual se puede interpretar como la estratificación social o sanitaria de la enfermedad; es decir, existe un valor critico $\mathcal{R}_0^{*}>1$, donde la enfermedad no se erradica ni alcanza su pico natural, sino que queda atrapada exactamente en el umbral $I=\Gamma$. Finalmente, se muestran simulaciones numéricas de las soluciones del modelo propuesto con el fin de corroborar los resultados analíticos.