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Descripción
Modelos matemáticos de propagação e difusão têm desempenhado um papel fundamental no avanço da compreensão de fenômenos em diversas áreas, com destaque para a Biologia, especialmente por meio dos modelos compartimentais em epidemiologia. Esses modelos permitem descrever a dinâmica de disseminação de doenças em populações ao longo do tempo e do espaço. Nesse contexto, equações do tipo reação-difusão são amplamente utilizadas, pois possibilitam incorporar não apenas a evolução temporal das classes epidemiológicas, mas também os efeitos espaciais decorrentes da mobilidade dos indivíduos infectados em uma determinada região (El-Shahed, M. e Alsaedi, A., Math. Probl. Eng., 2011, 480378, 2011; Monteiro, N.Z., Aplicação do cálculo de ordem arbitrária à epidemiologia, Dissertação de Mestrado, 2021; Tuan, N.H. et al., Chaos Solitons Fractals, 140, 110107, 2020).
Tradicionalmente, a modelagem da difusão espacial é realizada por meio do operador laplaciano clássico, o qual pressupõe que o processo de dispersão ocorre de forma local e homogênea. Essa abordagem tem sido bem-sucedida em diversos cenários, fornecendo resultados consistentes para a descrição da propagação de doenças em ambientes idealizados. No entanto, evidências experimentais e observacionais indicam que a disseminação de doenças pode apresentar comportamentos mais complexos, caracterizados por heterogeneidade espacial, interações não locais e padrões de dispersão anômalos. Tais características não são adequadamente capturadas pelo modelo clássico, o que pode levar a discrepâncias entre os resultados teóricos e os dados reais quando comparado com o laplaciano fracionário (Musina, R. \& Nazarov, A.I., Commun. Partial Differitial Equuation, 39, 1780–1790, 2014).
Diante dessas limitações, surge a necessidade de considerar abordagens mais gerais, capazes de descrever de forma mais realista os processos de difusão. Nesse sentido, o uso do laplaciano fracionário tem se destacado como uma ferramenta promissora, uma vez que permite modelar fenômenos de difusão não local, incorporando efeitos de longo alcance e movimentos anômalos (Musina e Nazarov, 2014; Tuan, N.H. et al., Chaos Solitons Fractals 140, 110107, 2020).
Neste trabalho, propõe-se o estudo de um modelo epidemiológico com difusão espacial, considerando o laplaciano fracionário. O objetivo principal é realizar uma análise comparativa dos pontos de equilíbrio desse modelo com o caso clássico, investigando como a inclusão da difusão fracionária afeta a estrutura e o comportamento das soluções de equilíbrio.
A metodologia adotada baseia-se em simulações numéricas, permitindo explorar a dinâmica do sistema sob diferentes parâmetros e condições iniciais. Espera-se identificar diferenças qualitativas e quantitativas entre os modelos clássico e fracionário.