Ponente
Descripción
Este trabajo presenta el análisis de un modelo de tratamiento de la leucemia mieloide crónica (LMC). El modelo es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que describe células leucémicas e inmunológicas. Se muestra cómo un equilibrio no trivial y biológicamente plausible puede alterar su estabilidad mediante una bifurcación de Hopf. Utilizando una aproximación de la variedad central, calculamos el primer coeficiente de Liapunov y su variación de signo en regiones de interés biológico, produciendo bifurcaciones supercríticas o subcríticas. Este estudio puede ser útil para prever el término del tratamiento en pacientes con LMC, pues indica cuándo la enfermedad puede retornar o permanecer controlable tras la suspensión del tratamiento.
El modelo adimensional estudiado es el siguiente:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot{u}=-a u+b v,\ \ \dot{v}=au-b v+c v(1-v)-d w \left(\frac{v}{m+v^2}\right),\ \dot{w}=1-w+h w \left(\frac{v }{n+v^2}\right),
\end{aligned}
\end{equation}
donde, $u$ y $v$ representan la población de células leucémicas quiescentes y proliferativas, respectivamente, y $w$ representa la población de células del sistema inmunológico. Los parámetros adimensionales $a$ y $b$ están relacionados con tasas de activación y desactivación, mientras que $c$, $d$, $h$, $m$ y $n$ están relacionados con reproducción de células leucémicas, ataque inmunológico, reclutamiento de células inmunes y eficacias.
Puntos de equilibrio y estabilidad
El sistema presenta el equilibrio trivial $E_0=(0,0,1)$.
Teorema 1. Si $d>cm$, entonces $E_0$ es un nodo atractor; si $cm>d$, entonces $E_0$ es un punto de silla.
Para los equilibrios no triviales, manipulamos $\dot{u}=0$, $\dot{v}=0$ y $\dot{w}=0$ y obtenemos $E_i=(\frac{bv_i}{a},v_i,1+\frac{hv_i}{n-hv_i+v_i^2})$, donde los $v_i$ son raíces de $P(v)=0$, siendo $P(v)$ un polinomio de grado $5$. Estudiamos la existencia de raíces positivas $v_i$ y la estabilidad de los puntos de equilibrio no triviales, obteniendo el siguiente resultado, que establece estabilidad alternada.
Teorema 2. Sea el equilibrio trivial $E_0=(0,0,1)$ y suponga que $P(v)$ admite $n$ raíces no triviales $v_i$, ordenadas como $0<v_1<...<v_n$. Denotando por $E_i$ el correspondiente punto de equilibrio, se tiene: si $i<n$ y $E_i$ es estable, entonces $E_{i+1}$ es inestable; si $i>0$ y $E_i$ es estable, entonces $E_{i-1}$ es inestable.
Este Teorema no excluye la posibilidad de que existan tres puntos de equilibrio inestables consecutivos. En ese caso, el punto intermedio puede ser inestable debido al surgimiento de un ciclo límite estable asociado a una bifurcación de Hopf. Por ello, el objetivo de este trabajo es estudiar las condiciones para esta ocurrencia.
Bifurcación de Hopf de un equilibrio no trivial
Forzamos el punto $E=(\frac{1}{10^3},\frac{a}{10^3b},2)$ a ser un equilibrio del sistema y que su matriz de linealización tenga autovalores de la forma $\alpha \pm i$ y un autovalor real $\gamma$, donde $\alpha$ será el parámetro de bifurcación. Encontramos una región de parámetros admisibles para que estas hipótesis se cumplan. Así, tenemos el siguiente teorema.
Teorema 3. El sistema experimenta una bifurcación de Hopf en torno al punto de equilibrio $E$ y existe una familia de soluciones periódicas que pueden ser estables o inestables.
Se estudiaron regiones de parámetros donde varía el signo del primer número de Liapunov, obteniendo ciclos límite estables e inestables. Se presentarán figuras para ilustrar casos subcrítico/supercrítico.