Ponente
Descripción
Ecossistemas aquáticos sob regime sazonal de inundação - como planícies pantaneiras, várzeas amazônicas e reservatórios tropicais - apresentam variações anuais da área alagada que influenciam processos de transporte, dinâmica populacional e distribuição de habitats. A modelagem desses fenômenos requer a resolução de equações diferenciais parciais em domínios bidimensionais cuja fronteira varia no tempo. Nesse contexto, surgem dois desafios principais: descrever de forma consistente o movimento da malha e discretizar as equações governantes preservando estabilidade e conservação geométrica.
Este trabalho apresenta uma metodologia para movimentação de malha em domínios bidimensionais com fronteira sazonal utilizando a formulação Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) (Hirt, C.W. et al., J. Comput. Phys. 14, 227-253, 1974; Hughes, T.J.R. et al., Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 29, 329-349, 1981). Nessa abordagem, o referencial computacional move-se com velocidade arbitrariamente prescrita $w(x,t)$, permitindo acompanhar a deformação da fronteira sem os problemas de distorção típicos da formulação puramente Lagrangiana.
O mapa de deformação é definido por
\begin{equation}
\varphi_t(X)=X+d(X,t),
\end{equation}
onde $d(X,t)$ representa o campo de deslocamento nodal.
A formulação ALE da equação de advecção-difusão escalar é escrita como
\begin{equation}
\frac{d\phi}{dt}\bigg|_{X} - k\Delta\phi
+
(v-w)\cdot\nabla\phi = f.
\end{equation}
As equações de Navier-Stokes incompressíveis em coordenadas ALE são dadas por
\begin{equation}
\rho\frac{dv}{dt}\bigg|_{X} + \rho(v-w)\cdot\nabla v + \nabla p -\mu\Delta v = \rho f,
\qquad
\nabla\cdot v = 0.
\end{equation}
A discretização espacial utiliza o elemento finito Taylor-Hood $P_2/P_1$ (Girault, V. & Raviart, P.-A., Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations, Springer, 1986), adequado para satisfazer a condição inf-sup.
O deslocamento da malha é construído em duas etapas. Inicialmente, a fronteira é mapeada para uma poligonal-alvo por comprimento de arco normalizado. Em seguida, o deslocamento interno é obtido por interpolação via funções de base radial utilizando o núcleo de placa fina
\begin{equation}
\Phi(r)=r^2\ln(r),
\end{equation}
que minimiza energia de curvatura no plano (Duchon, J., in: Constructive Theory of Functions of Several Variables, Springer, pp. 85-100, 1977).
A modulação temporal do deslocamento é dada pela função
\begin{equation}
\alpha(t)=\frac{1}{2}\left[1+\cos\left(\frac{2\pi(t-t^*)}{T}\right)\right],
\end{equation}
que garante periodicidade, suavidade e velocidade nula nos extremos do ciclo anual.
A separação espaço-tempo
\begin{equation}
d(X,t)=\alpha(t)D_{\max}(X),
\end{equation}
onde $D_{\max}(X)$ representa o campo espacial correspondente ao deslocamento máximo da malha ao longo do ciclo sazonal, permite calcular analiticamente a velocidade da malha,
$$ w_i(t)=\dot{\alpha}(t)D_{\max,i}. $$ A aplicação considerada corresponde a um trecho do rio Cuiabá, em Mato Grosso, Brasil, adotando $t^*=105$ dias e $T=365$ dias para representar o ciclo anual de cheia e vazante. Os testes numéricos confirmam que os nós de fronteira coincidem com a geometria-alvo no pico do ciclo dentro da precisão de máquina, que as velocidades nodais anulam-se nos extremos do período e que a Lei de Conservação Geométrica é satisfeita ao longo de toda a simulação (Lesoinne, M. & Farhat, C., Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 134, 71-90, 1996).